题文
对于数列
，若满足
，则称数列
为“0-1数列”.定义变换
，
将“0-1数列”
中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0. 例如
:1,0,1，则
设
是“0-1数列”，令
.
(Ⅰ) 若数列
：
求数列
；
(Ⅱ) 若数列
共有10项，则数列
中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；
(Ⅲ)若
为0，1，记数列
中连续两项都是0的数对个数为
，
.求
关于
的表达式. 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：(Ⅰ)由变换的定义可得
…………………………2分
………………………………4分
(Ⅱ) 数列
中连续两项相等的数对至少有10对 ………………………………5分
证明：对于任意一个“0-1数列”
，
中每一个1在
中对应连续四项1,0,0,1，在
中每一个0在
中对应的连续四项为0,1,1,0，
因此，共有10项的“0-1数列”
中的每一个项在
中都会对应一个连续相等的数对，
所以
中至少有10对连续相等的数对. ……………………………8分
(Ⅲ) 设
中有
个01数对，
中的00数对只能由
中的01数对得到，所以
，
中的01数对有两个产生途径：①由
中的1得到； ②由
中00得到，
由变换
的定义及
可得
中0和1的个数总相等，且共有
个，
所以
，
所以
，
由
可得
，
所以
，
当
时，
若
为偶数，
上述各式相加可得
，
经检验，
时，也满足
若
为奇数，
上述各式相加可得
，
经检验，
时，也满足
所以
…………………………………………..13分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“对于数列，若满足，则称数列为“0-1数列.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
