已知数列{an}，且x＝是函数f(x)＝an－1x3－3[(t＋1)an－an＋1] x＋1(n≥2)的一个极值点．数列{an}中a1＝t，a2＝t2(t＞0且

题文

已知数列{a_n}，且x＝

是函数f(x)＝a_n－1x³－3[(t＋1)a_n－a_n＋1] x＋1(n≥2)的

一个极值点．数列{a_n}中a₁＝t，a₂＝t²(t＞0且t≠1) ．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n＝2(1－

)，当t＝2时，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n＞2010的n的最小值；
（3）若c_n＝

，证明：

( n∈N^﹡)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）f ′(x)＝3an－1x2－3[(t＋1)an－an＋1]，
所以f ′(

)＝3an－1t－3[(t＋1)an－an＋1]＝0．
整理得：an＋1－an＝t(an－an－1) ．…………………………………………2分
当 t＝1时，{an－an－1}是常数列，得

；
当 t≠1时{an－an－1}是以 a2－a1＝t2－t为首项， t为公比的等比数列，
所以 an－an－1＝(t2－t)·t n－2＝(t－1)·t n－1．
方法一：由上式得
(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝(t－1)(tn－1＋tn－2＋…＋t)，
即 an－a1＝(t－1)·

＝tn－t，
所以 an＝tn(n≥2) ．
又，当t＝1时上式仍然成立，故 an＝tn(n∈N﹡) ．………………………4分
方法二：由上式得： an－tn＝an－1－tn－1，
所以{an－tn}是常数列，an－tn＝a1－t＝0 an＝tn(n≥2) ．
又，当t＝1时上式仍然成立，故 an＝tn(n∈N﹡) ．
（2）当t＝2， bn＝

＝2－

．
∴Sn＝2n－(1＋

＋

＋…＋

)＝2n－


＝2n－2(1－

)＝2n－2＋2·


由Sn＞2010，得
2n－2＋2(

)n＞2010， n＋(

)n＞1006，
当n≤1005时， n＋(

)n＜1006，
当 n≥1006时， n＋(

)n＞1006，
因此 n的最小值为1006．………………………………………………8分
（3）cn＝

且c1＝

，所以


．
因为

＝

＝


＝

≥

，
所以



＝

．
从而原命题得证．…………………………………………………………14分

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}，且x＝是函数f(x)＝.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．