设数列{an}满足a1 = 3，an+1 = 2an＋n·2n+1＋3n，n≥1。(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项之和Sn。

题文

设数列{a_n}满足a₁ = 3，a_n+1 = 2a_n＋n·2ⁿ⁺¹＋3ⁿ，n≥1。
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)求数列{a_n}的前n项之和S_n。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n=2^n-1·(n²-n)＋3ⁿ；
（2）S_n= - (n-2)·2ⁿ⁺¹＋(n-1)·n·2ⁿ-4= - (n-2)·2ⁿ⁺¹＋(n-1)·n·2ⁿ-4

解析

(1) a_n= 2a_n-1＋(n-1)·2ⁿ＋3^n-1
=2[2a_n-2+(n-2)·2^n-1＋3^n-2]＋(n-1)·2ⁿ＋3^n-1
=2²a_n-2＋[(n-2)＋(n-1)]·2ⁿ＋(2·3^n-2＋3^n-1)
=2²[2a_n-3＋(n-3)·2^n-2＋3^n-3]＋[(n-2)＋(n-1)]·2ⁿ＋(2·3^n-2＋3^n-1)
=2³a_n-3＋[(n-3)＋(n-2)＋(n-1)]·2ⁿ＋(2²·3^n-3＋2·3^n-2＋3^n-1)
=……
=2 ^n-1a₁＋[1＋2＋3＋…＋(n-1)]·2ⁿ＋(2^n-2·3＋2^n-3·3²＋…＋3^n-1)
=2^n-1·3＋·2ⁿ＋2^n-2·3·
=2^n-1·(n²-n＋3)＋2^n-1·3[()^n-1-1]
=2^n-1·(n²-n)＋3ⁿ。
(2)设数列{b_n}，其中b_n =2^n-1·(n²-n)，M_n 为其前n项和，则S_n= M_n＋3ⁿ。
M_n =0＋1·2·2¹＋2·3·2²＋3·4·2³＋…＋(n-1)·n·2^n-1，
2M_n = 1·2·2²＋2·3·2³＋…＋(n-1)·n·2ⁿ，
相减得 - M_n = 1·2·2＋2·2·2²＋3·2·2³＋…＋2·(n-1)·2^n-1- (n-1)n·2ⁿ
=1·2²＋2·2³＋3·2⁴＋…＋(n-1)·2ⁿ- (n-1)n·2ⁿ，
-2 M_n = 1·2³＋2·2⁴＋3·2⁵＋…＋(n-1)·2ⁿ⁺¹- (n-1)·n·2ⁿ⁺¹，
相减得 M_n = 1·2²＋2³＋2⁴＋…＋2ⁿ- (n-1)·2 ⁿ⁺¹＋(n-1)n·2ⁿ
= (2-n)·2 ⁿ⁺¹＋(n-1)·n·2ⁿ-4，
S_n = M_n＋3＋3²＋…＋3ⁿ
= - (n-2)·2ⁿ⁺¹＋(n-1)·n·2ⁿ-4。

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足a1 = 3，an+1.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．