已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，2Sn＝an an＋1＋r．若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？

题文

（本小题满分14分）已知各项均不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁＝c，
2S_n＝a_n a_n＋1＋r．
（1）若r＝－6，数列{a_n}能否成为等差数列？若能，求

满足的条件；若不能，请说明理由；
（2）设

，

，
若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式

恒成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）n＝1时，2a₁＝a₁ a₂＋r，∵a₁＝c≠0，∴2c＝ca₂＋r，

．
n≥2时，2S_n＝a_n a_n＋1＋r，①    2S_n－1＝a_n－1 a_n＋r，②
①－②，得2a_n＝a_n(a_n＋1－a_n－1)．∵a_n≠0，∴a_n＋1－a_n－1＝2．
则a₁，a₃，a₅，…，a_2n－1，… 成公差为2的等差数列，a_2n－1＝a₁＋2(n－1)．
a₂，a₄，a₆，…，a_2n，… 成公差为2的等差数列， a_2n＝a₂＋2(n－1)．
要使{a_n}为等差数列，当且仅当a₂－a₁＝1．即

．r＝c－c²．
∵r＝－6，∴c²－c－6＝0，c＝－2或3．
∵当c＝－2，

，不合题意，舍去.
∴当且仅当

时，数列

为等差数列            ……………………………………6分
（2）

＝[a₁＋2(n－1)]－[a₂＋2(n－1)]＝a₁－a₂＝

－2．


＝[a₂＋2(n－1)]－（a₁＋2n）＝a₂－a₁－2＝－(

)．     ………………………8分
∴



   


．



＝

．    ……………………………………10分
∵r＞c＞4，∴

＞4，∴

＞2．∴0＜

＜1．
又∵r＞c＞4，∴

，则0＜

；

．
∴

＜1．

．∴

＜1．
所以：




又

＞－1． 
所以：


综上，对于一切n∈N*，不等式

恒成立． …………………14分

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知各项均不为零的数.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．