题文
（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）对于数列
，如果存在一个正整数
，使得对任意的
（
）都有
成立，那么就把这样一类数列
称作周期为
的周期数列，
的最小值称作数列
的最小正周期，以下简称周期。例如当
时
是周期为
的周期数列，当
时
是周期为
的周期数列。
（1）设数列
满足
（
），
（
不同时为0），且数列
是周期为
的周期数列，求常数
的值；
（2）设数列
的前
项和为
，且
．
①若
，试判断数列
是否为周期数列，并说明理由；
②若
，试判断数列
是否为周期数列，并说明理由；
（3）设数列
满足
（
），
，
，
，数列
的前
项和为
，试问是否存在
，使对任意的
都有
成立，若存在，求出
的取值范围；不存在， 说明理由； 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）由数列
是周期为
的周期数列，
且
，即
， …………4分
（2）当
时，
，又
得
．……………………………5分
当
时，
，
即
或
．……………………………6分
①由
有
，
则
为等差数列，即
，
由于对任意的
都有
，所以
不是周期数列……………………………8分
②由
有
，数列
为等比数列，即
，
即
对任意
都成立，
即当
时
是周期为2的周期数列。…………………………10分
（3）假设存在
，满足题设。
于是
又
则
所以
是周期为3的周期数列，所以
的前3项分别为
，……………………12分
则
，
………………14分
当
时，
当
时，
当
时，
综上
， ……………16分
为使
恒成立，只要
，
即可，
综上，假设存在
，满足题设，
，
。………………18分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“（本题满分18分，第（1）小题4分，第（.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
