已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，)在直线y＝x＋上．数列{bn}满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，b3＝11，且其前9

题文

（本题满分12分）
已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n，)在直线y＝x＋上．数列{b_n}满足b_n＋2－2b_n＋1＋b_n＝0(n∈N^*)，b₃＝11，且其前9项和为153.
(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
(2)设c_n＝，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(1)由已知得＝n＋，∴S_n＝n²＋n.
当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝n²＋n－(n－1)²－(n－1)＝n＋5；
当n＝1时，a₁＝S₁＝6也符合上式．∴a_n＝n＋5.
由b_n＋2－2b_n＋1＋b_n＝0(n∈N^*)知{b_n}是等差数列，
由{b_n}的前9项和为153，可得＝9b₅＝153，
得b₅＝17，又b₃＝11，∴{b_n}的公差d＝＝3，b₃＝b₁＋2d，
∴b₁＝5，∴b_n＝3n＋2.
(2)c_n＝＝(－)，
∴T_n＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)．∵n增大，T_n增大，∴{T_n}是递增数列．∴T_n≥T₁＝.
T_n＞对一切n∈N^*都成立，只要T₁＝＞，
∴k＜19，则k_max＝18.

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分12分）已知数列{an}的前n.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．