(本题满分16分)A、B是函数f(x)=+的图象上的任意两点，且=()，已知点M的横坐标为. (Ⅰ)求证：M点的纵坐标为定值； (Ⅱ)若Sn=f()+f()+

题文

(本题满分16分)A、B是函数f(x)=

+

的图象上的任意两点，且

=

(

)，已知点M的横坐标为

.
(Ⅰ)求证：M点的纵坐标为定值；
(Ⅱ)若S_n=f(

)+f(

)+…+f(

)，n∈N₊且n≥2，求S_n；
(Ⅲ)已知数列{a_n}的通项公式为

. T_n为其前n项的和，若T_n<

(S_n+1+1)，对一切正整数都成立，求实数

的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(Ⅰ)证明：设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，M(

,y_m)，由

得


即x₁+x₂="1."











即M点的纵坐标为

. …………………………………………………4分
(Ⅱ)当n≥2时，

∈(0,1)，又

=…=x

₁+x₂，
∴

=…=f(x₁)+f(x₂)=y₁+y₂=1.


…

，又

…

，
∴2S_n=n-1，则

(n≥2，n∈N₊). ……………………………10分
(Ⅲ)由已知T₁=a₁=

，n≥2时，

，
∴T_n=a₁+a₂+…+a_n=

…

=

.
当n∈N₊时，T_n<

(S_n+1+1)，即

>

，n∈N₊恒成立，则

>

.
而

(n=2时“＝”成立)，
∴

，∴实数

的取值范围为(

,+∞). ……………………16分

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“ (本题满分16分)A、B是函数f(x).....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．