(本题满分14分) 设等差数列{an}的首项a1为a，前n项和为Sn．(Ⅰ) 若S1，S2，S4成等比数列，求数列{an}的通项公式；(Ⅱ) 证明：n∈N*,

题文

(本题满分14分) 设等差数列{a_n}的首项a₁为a，前n项和为S_n．
(Ⅰ) 若S₁，S₂，S₄成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
(Ⅱ) 证明：

n∈N*, S_n，S_n＋1，S_n＋2不构成等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(Ⅰ) 解：设等差数列{a_n}的公差为d，则S_n＝na＋

，
S₁＝a，S₂＝2a＋d，S₄＝4a＋6d．由于S₁，S₂，S₄成等比数列，因此


＝S₁

S₄，即得d (2a－d)＝0．所以，d＝0或2a．
(1) 当d＝0时，a_n＝a；
(2) 当d＝2a时，a_n＝(2n－1)a．                 …………6分
(Ⅱ) 证明：采用反证法．不失一般性，不妨设对某个m∈N*，S_m，S_m＋1，S_m＋2构成等比数列，即

．因此
a²＋mad＋

m(m＋1)d²＝0，     ①
(1) 当d＝0时，则a＝0，此时S_m＝S_m＋1＝S_m＋2＝0，与等比数列的定义矛盾；
(2) 当d≠0时，要使数列{a_n}的首项a存在，必有①中的Δ≥0．
然而
Δ＝(md)²－2m(m＋1)d²＝－(2m＋m²)d²＜0，矛盾．
综上所述，对任意正整数n，S_n，S_n＋1，S_n＋2都不构成等比数列

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“(本题满分14分) 设等差数列{an}的.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．