设为关于n的k次多项式．数列{an}的首项，前n项和为．对于任意的正整数n，都成立．若，求证：数列{an}是等比数列；试确定所有的自然数k，使得数列

题文

设

为关于n的k

次多项式．数列{an}的首项

，前n项和为

．对于任意的正整数n，

都成立．
（1）若

，求证：数列{an}是等比数列；
（2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）若

，则

即

为常数，不妨设

（c为常数）．
因为

恒成立，所以

，即

．
而且当

时，

，  ①


， ②
①－②得

．
若an=0，则

，…，a1=0，与已知矛盾，所以

．
故数列{an}是首项为1，公比为

的等比数列．
【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去．
(ii) 若k=1，设

（b，c为常数），
当

时，

，          ③


，    ④
③－④得

．
要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有

（常数），
而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1

，
故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1

，此时

．
(iii) 若k=2，设

（

，a，b，c是常数），
当

时，

，          ⑤


， ⑥
⑤－⑥得

，要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有


，且d=2a，
考虑到a1=1，所以



．
故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为



，
此时

（a为非零常数）． (iv) 当

时，若数列{an}能成等差数列，则

的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}
不能成等差数列．
综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“设为关于n的k次多项式．数列{an}的首.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．