(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋x2－2.(1)设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1＝3.若点(an，an＋12－2an＋1)(n∈

题文

(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x³＋x²－2.
(1)设{a_n}是正数组成的数列，前n项和为S_n，其中a₁＝3.若点(a_n，a_n＋1²－2a_n＋1)(n∈N^*)在函数y＝f′(x)的图象上，求证：点(n，S_n)也在y＝f′(x)的图象上；
(2)求函数f(x)在区间(a－1，a)内的极值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解析：
(1)证明：因为f(x)＝x³＋x²－2，
所以f′(x)＝x²＋2x，
由点(a_n，a_n＋1²－2a_n＋1)(n∈N^*)在函数y＝f′(x)的图象上，得a_n＋1²－2a_n＋1＝a_n²＋2a_n，即(a_n＋1＋a_n)(a_n＋1－a_n－2)＝0.
又a_n>0(n∈N^*)，所以a_n＋1－a_n＝2.
又因为a₁＝3，
所以数列{a_n}是以3为首项，以2为公差的等差数列，
所以S_n＝3n＋×2＝n²＋2n.
又因为f′(n)＝n²＋2n，所以S_n＝f′(n)，
故点(n，S_n)也在函数y＝f′(x)的图象上．
(2)f′(x)＝x²＋2x＝x(x＋2)，
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2，
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)



极大值



极小值



注意到|(a－1)－a|＝1<2，从而
①当a－1<－2<a，即－2<a<－1时，f(x)的极大值为f(－2)＝－，此时f(x)无极小值；
②当a－1<0<a，即0<a<1时，f(x)的极小值为f(0)＝－2，此时f(x)无极大值；
③当a≤－2或－1≤a≤0或a≥1时，f(x)既无极大值又无极小值．

解析

x
(－∞，－2)
－2
(－2,0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)



极大值



极小值




考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．