题文
(本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第,3小题8分)一青蛙从点
开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是
，(如图所示，
坐标以已知条件为准)，
表示青蛙从点
到点
所经过的路程。
(1) 若点
为抛物线
准线上
一点，点
，
均在该抛物线上，并且直线
经
过该抛物线的焦点，证明
.
(2)若点
要么落在
所表示的曲线上，
要么落在
所表示的曲线上，并且
,
试写出
（不需证明）；
(3)若点
要么落在
所表示的曲线上，要么落在
所表示的曲线上，并且
，求
的表达式.
题型：未知 难度：其他题型
答案
解：(1)设
，由于青蛙依次向右向上跳动，
所以
，
，由抛物线定义知：
分
(2) 依题意，
随着
的增大，点
无限接近点
分
横向路程之和无限接近
，纵向路程之和无限接近
分
所以
=
分
(3)方法一：设点
，由题意，
的坐标满足如下递推关系：
，且
其中
分
∴
，即
，
∴
是以
为首项，
为公差的等差数列，
∴
，
所以当
为偶数时，
，于是
，
又
∴当
为奇数时，
分
当
为偶数时，
当
为奇数时，
所以，当
为偶数时，
当
为奇数时，
所以，
分
方法二：由题意知
其中
观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为
，公比为
的等比数列。相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列。下标为偶数的点也有此规律。并由数学归纳法可以证明。
分
所以，当
为偶数时，
当
为奇数时，
当
为偶数时，
当
为奇数时，
分
所以，
分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“(本题满分18分，其中第1小题4分，第2.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
