题文
(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设
，对于项数为
的有穷数列
，令
为
中最大值，称数列
为
的“创新数列”．例如数列
3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．
考查自然数
的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列
．
（1）若
，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列
；
（2）是否存在数列
的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在数列
，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列
的个数；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（1）由题意，创新数列为3，4，4，4的所有数列有两个，即3，4，1，2和
3，4，2，1． ……………（每写出一个给2分，多写不得分）4分
（2）存在数列
的创新数列为等比数列．……………………………………5分
设数列
的创新数列为
，
因为
为前
个自然数中最大的一个，所以
． ……………………6分
若
为等比数列，设公比为
，因为
，所以
．…7分
当
时，
为常数列满足条件，即为数列
（或写通项公式
）； ……………………………………9分
当
时，
为增数列，符合条件的数列只能是
，又
不满足等比数列．综上符合条件的创新数列只有一个． ……………………10分
（3）存在数列
，使它的创新数列为等差数列， ……………………11分
设数列
的创新数列为
，因为
为前
个自然数中最大的一个，所以
．
若
为等差数列，设公差为
，
因为
，所以
．且
……………………12分
当
时，
为常数列满足条件，即为数列
（或写通项公式
），
此时数列
是首项为
的任意一个排列，共有
个数列； ……………14分
当
时，符合条件的数列
只能是
，此时数列
是
，有1个； ……………………15分
当
时，
又
这与
矛盾，所以此时
不存在。 …………17分
综上满足条件的数列
的个数为
个（或回答
个）． …………18分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“(本题满分18分) 本题共有3个小题，第.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
