题文
已知数列
满足
,
，
．
（1）求证：
是等比数列；
（2）求证：
是等比数列并求数列
的通项公式；
（3）设
，且
对于
恒成立，求
的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由an＋1＝an＋6an－1，an＋1＋2an＝3(an＋2an－1) (n≥2)，∵a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15故数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列 …………5分
（2）由（1）得an＋1＋2an＝5·3n ，∴ (an＋1－3n＋1)＝－2(an－3n)，
故数列
是以2为首项，-2为公比的等比数列，∴ an－3n＝2(－2)n－1 ，
即an＝3n＋2(－2)n－1＝3n－(－2)n ………9分
（3）由3nbn＝n(3n－an)＝n[3n－3n＋(－2)n]＝n(－2)n，∴bn＝n(－
)n
令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝
＋2(
)2＋3(
)3＋…＋n(
)n
Sn＝(
)2＋2(
)3＋…＋(n－1)(
)n＋n(
)n＋1 …………11分
得
Sn＝
＋(
)2＋(
)3＋…＋(
)n－n(
)n+1＝2[1－(
)n]－n(
)n+1
∴ Sn＝6[1－(
)n]－3n(
)n+1＜6，要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m对于n∈N＊恒成立，
只须m≥6
解析
略考点
据考高分专家说，试题“已知数列满足, ，．（1）求证：是等比数.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
