对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.

题文

（本题满分16分）
对于数列

，如果存在一个正整数

，使得对任意的

（

）都有

成立，那么就把这样一类数列

称作周期为

的周期数列，

的最小值称作数列

的最小正周期，以下简称周期.例如当

时

是周期为

的周期数列，当

时

是周期为

的周期数列.
（1）设数列

满足

（

），

（

不同时为0），求证：数列

是周期为

的周期数列，并求数列

的前2012项的和

；
（2）设数列

的前

项和为

，且

.
①若

，试判断数列

是否为周期数列，并说明理由；
②若

，试判断数列

是否为周期数列，并说明理由；
（3）设数列

满足

（

），

，

，数列

的前

项和为

，试问是否存在实数

，使对任意的

都有

成立，若存在，求出

的取值范围

；不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：



又

，
所以

是周期为6的周期数列，………………2分


.
所以



.………4分
解：（2）当

时，

，又

得

.………6分
当

时,




，
即

或

.…………6分
①由

有



，则

为等差数列，即

，
由于对任意的

都有

，所以

不是周期数列.…………8分
②由

有

，数列

为等比数列，即

，
存在

使得

对任意

都

成立，
即当

时

是周期为2的周期数列.…………10分
（3）假设存在

，满足题设.
于是



又

即

，
所以

是周期为6的周期数列，

的前6项分别为

，…12分
则

（

），……14分
当

时，

，
当

时，



，
当

时，



，
当

时，



，
所以

，为使

恒成立，只要

，

即可，
综上，假设存在

，满足题设，

，

.……16分

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分16分）对于数列，如果存在一个.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．