题文
（本小题共13分）在等差数列
中，
，其前
项和为
，等比数列
的各项均为正数，
，公比为
，且
，
．
（Ⅰ）求
与
；
（Ⅱ）证明：
≤
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解：（Ⅰ）设的公差为
，
因为
所以
解得
或
（舍），
．
故
，
． ……………6分
（Ⅱ）因为
，
所以
． ………9分
故
． ………11分
因为
≥
，所以
≤
，于是
≤
，
所以
≤
．
即
≤
． ……………13分
解析
本题考查等差数列和等比数列的通项公式以及等比数列的前n项和，考查学生利用基本量思想和方程思想的解题能力。清晰数列的通项公式和求和公式联立方程求解是解决本类题目常用的解题思路，考查学生的计算能力。在数列求和问题中，由于题目的千变万化，使得不少同学一筹莫展，方法老师也介绍过，就不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法 “特征联想法”：就是抓住数列的通项公式的特征，再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂，只有抓住它的特征，才能对号入座，得到求和方法.特征一：
，数列
的通项公式能够分解成几部分，一般用“分组求和法”.特征二：
，数列
的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”.特征三：
，数列
的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”.特征四：
，数列
的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成，一般采用“倒序相加法”.本题第二问采用裂项相消法，结合不等式的放缩法进行证明.
考点
据考高分专家说，试题“（本小题共13分）在等差数列中，，其前项.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
