题文
对于数列
，定义“
变换”：
将数列
变换成数列
，其中
，且
，这种“
变换”记作
.继续对数列
进行“
变换”，得到数列
，…，依此类推，当得到的数列各项均为
时变换结束．
（Ⅰ）试问
和
经过不断的“
变换”能否结束？若能，请依次写出经过“
变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）求
经过有限次“
变换”后能够结束的充要条件；
（Ⅲ）证明：
一定能经过有限次“
变换”后结束． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）解：数列不能结束，各数列依次为
；
；
；
；
；
；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为
的情形． ……2分
数列
能结束，各数列依次为
；
；
；
．
……………3分
（Ⅱ）解：
经过有限次“
变换”后能够结束的充要条件是
．……4分
若
，则经过一次“
变换”就得到数列
，从而结束．……5分
当数列
经过有限次“
变换”后能够结束时，先证命题“若数列
为常数列，则
为常数列”．
当
时，数列
．
由数列
为常数列得
，解得
，从而数列
也为常数列．
其它情形同理，得证．
在数列
经过有限次“
变换”后结束时，得到数列
(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列
也为常数列． ………8分
所以，数列
经过有限次“
变换”后能够结束的充要条件是
．
（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列
的最大项一定不大于数列
的最大项，其中
”．
证明：记数列
中最大项为
，则
．
令
，
，其中
．
因为
， 所以
，
故
，证毕． ……………9分
现将数列
分为两类．
第一类是没有为
的项，或者为
的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，
．
第二类是含有为
的项，且与最大项相邻，此时
．
下面证明第二类数列
经过有限次“
变换”，一定可以得到第一类数列．
不妨令数列
的第一项为
，第二项
最大(
)．（其它情形同理）
①当数列
中只有一项为
时，
若
(
)，则
，此数列各项均不为
或含有
项但与最大项不相邻，为第一类数列；
若
，则
；
此数列各项均不为
或含有
项但与最大项不相邻，为第一类数列；
若
(
)，则
，此数列各项均不为
，为第一类数列；
若
，则
；
；
，
此数列各项均不为
，为第一类数列．
②当数列
中有两项为
时，若
(
)，则
，此数列各项均不为
，为第一类数列；
若
(
)，则
，
，此数列各项均不为
或含有
项但与最大项不相邻，为第一类数列．
③当数列
中有三项为
时，只能是
，则
，
，
，此数列各项均不为
，为第一类数列．
总之，第二类数列
至多经过
次“
变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历
次“
变换”，数列的最大项又开始减少．
又因为各数列的最大项是非负整数，
故经过有限次“
变换”后，数列的最大项一定会为
，此时数列的各项均为
，从而结束． ………………13分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
