题文
对于数列
，定义“
变换”：
将数列
变换成数列
，其中
，且
.这种“
变换”记作
.继续对数列
进行“
变换”，得到数列
，依此类推，当得到的数列各项均为
时变换结束．
（Ⅰ）试问
经过不断的“
变换”能否结束？若能，请依次写出经过“
变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）设
，
．若
，且
的各项之和为
．
（ⅰ）求
，
；
（ⅱ）若数列
再经过
次“
变换”得到的数列各项之和最小，求
的最小值，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）解：数列不能结束，各数列依次为
；
；
；
；
；…．
以下重复出现，所以不会出现所有项均为
的情形． ………3分
（Ⅱ）解：（ⅰ）因为
的各项之和为
，且
，所以
为
的最大项，
所以
最大，即
，或
． …………5分
当
时，可得
由
，得
，即
，故
．…7分
当
时，同理可得
，
． ………8分
（ⅱ）方法一：由
，则
经过
次“
变换”得到的数列分别为：
；
；
；
；
；
．
由此可见，经过
次“
变换”后得到的数列也是形如“
”的数列，与数列
“结构”完全相同，但最大项减少12．
因为
，
所以，数列
经过
次“
变换”后得到的数列为
．
接下来经过“
变换”后得到的数列分别为：
；
；
；
；
；
；
，……
从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．
所以经过
次“
变换”得到的数列各项和最小，
的最小值为
．
……………13分
方法二：若一个数列有三项，且最小项为
，较大两项相差
，则称此数列与数列
“结构相同”．
若数列
的三项为
，则无论其顺序如何，经过“
变换”得到的数列的三项为
(不考虑顺序) ．
所以与
结构相同的数列经过“
变换”得到的数列也与
结构相同，除
外其余各项减少
，各项和减少
．
因此，数列
经过
次“
变换”一定得到各项为
(不考虑顺序)的数列．
通过列举，不难发现各项为
的数列，无论顺序如何，经过“
变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．
所以，至少通过
次“
变换”，得到的数列各项和最小，故
的最小值为
．
……………13分
解析
略考点
据考高分专家说，试题“对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
