题文
已知各项均为正数的两个数列
和
满足：
，
，
（1）设
，
，求证：数列
是等差数列；
（2）设
，
，且
是等比数列，求
和
的值．
题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）见解析（2）
解析
（1）根据题设和
，求出
，从而证明
而得证。
（2）根据基本不等式得到
，用反证法证明等比数列
的公比
。
从而得到
的结论，再由
知
是公比是
的等比数列。最后用反证法求出
解：（1）∵
，∴
。
∴
。
∴
。
∴数列
是以1 为公差的等差数列。
（2）∵
，∴
。
∴
。（﹡）
设等比数列
的公比为
，由
知
，下面用反证法证明
若
则
，∴当
时，
，与（﹡）矛盾。
若
则
，∴当
时，
，与（﹡）矛盾。
∴综上所述，
。∴
，∴
。
又∵
，∴
是公比是
的等比数列。
若
，则
，于是
。
又由
即
，得
。
∴
中至少有两项相同，与
矛盾。∴
。
∴
。
∴
【考点定位】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用，指数幂和根式的互化，数列通项公式的求解，注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是有关数列的综合题，从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点、重点问题，在训练时，要引起足够的重视。
考点
据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的两个数列和满足：，，（.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
