题文
（本小题满分14分）(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m+n=s+t(m,n,s,t∈N*，且m≠n,s≠t)，证明；
=
；
(2)注意到(1)中Sn与n的函数关系，我们得到命题：设抛物线x2=2py(p>0)的图像上有不同的四点A，B，C，D，若xA，xB，xC，xD分别是这四点的横坐标，且xA+xB=xC+xD，则AB∥CD，判定这个命题的真假，并证明你的结论
(3)我们知道椭圆和抛物线都是圆锥曲线，根据(2)中的结论，对椭圆
+
=1(a>b>0)提出一个有深度的结论，并证明之. 题型：未知 难度：其他题型
答案
见解析解析
（1）利用等差数列的前N项公式易证等式成立；（2）根据平行得出斜率相等，再利用两点的斜率公式推导式子成立；（3）在椭圆中利用设而不求点差法的思想得出两点斜率的关系式，从而利用斜率相等得出两直线平行（1）设等差数列
的公差为
，
同理：
，
，
；…………3分
（2）设
的斜率分别为
，则
，
，
，
，即
；……………………………………6分
（3）A类卷：能提出有深度的问题，并能严格证明，满分8分，如：
设椭圆
图像上有不同的四点
，若线段
的中点连线经过原点，则
.
证明：设：
，线段
的中点不在坐标轴上，且它们的连线经过原点，则
，
又
，
，
，
则：
，
，
所以：
，即
；
又当
中点在坐标轴上时，
同时垂直这条坐标轴，
成立.
B类卷：能模仿（2）提出问题，并能严格证明，满分6分，如：
椭圆
图像上有不同的四点
，设它们的坐标分别是
，若
，则
.
证明：设：
，又
，
，
，
当
则：
，
，
所以：
，即
.
当
时，
同时垂直
轴，
成立.
C类卷：简单模仿（2）提出问题，且不能证明，满分2分
椭圆
图像上有四点
，设它们的坐标分别是
，若
，则
.
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）(1)已知等差数列{.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
