设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，….(1)求a1，a2；(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根为S_n－1，n＝1,2,3，….
(1)求a₁，a₂；
(2)猜想数列{S_n}的通项公式，并给出严格的证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) a₁＝

. a₂＝

 
(2)猜想S_n＝

，n＝1,2,3，….

解析

(1)先令n=1，则s₁-1即a₁-1是方程的一个根，因而建立关于a₁的方程求出a₁的值.同理再利用n=2时，求出a₂.
(2)由条件可知(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0,化简得S－2S_n＋1－a_nS_n＝0,
然后利用n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1,把a_n代入上式，消去a_n,就找到了s_n与s_n-1之间的递推关系，求出s₁,s₂,s₃,然后观察规律，归纳出s_n,再利用数学归纳法证明即可
(1)当n＝1时，x²－a₁x－a₁＝0有一根为S₁－1＝a₁－1，于是(a₁－1)²－a₁(a₁－1)－a₁＝0，解得a₁＝

. 当n＝2时，x²－a₂x－a₂＝0有一根为S₂－1＝a₂－

， 于是(a₂－

)²－a₂(a₂－

)－a₂＝0，解得a₂＝

 
(2)由题设(S_n－1)²－a_n(S_n－1)－a_n＝0，S－2S_n＋1－a_nS_n＝0.当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1，
代入上式得S_n－1S_n－2S_n＋1＝0.①由(1)得S₁＝a₁＝

，S₂＝a₁＋a₂＝

＋

＝

.
由①可得S₃＝

.由此猜想S_n＝

，n＝1,2,3，….
下面用数学归纳法证明这个结论．
(i)n＝1时已知结论成立．
(ii)假设n＝k时结论成立，即S_k＝

，当n＝k＋1时，由①得S_k＋1＝

，即S_k＋1＝

，故n＝k＋1时结论也成立．
综上，由(i)、(ii)可知S_n＝

对所有正整数n都成立．

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．