(本小题满分15分)在等差数列{an}中，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a5是等比数列{bn}的前三项．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设

题文

(本小题满分15分)
在等差数列{a_n}中，a₁=1，公差d≠0，且a₁，a₂，a₅是等比数列{b_n}的前三项．
(1)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
(2)设c_n=a_n·b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）b_n=3^{n－1；（2）}（2）S_n=(n－1)·3ⁿ+1

解析

本试题主要是考查了数列的概念，和数列的求和，尤其是等差数列和等比数列的性质的运用，以及利用错位相减法求解数列的和的思想的综合运用。
（1）根据已知的项之间的关系式，运用基本元素表示得到数列的通项公式的求解
（2）结合第一问中的结论，得到c_n=a_n·b_n=(2n－1)·3^n－1，的通项公式，分析通项公式的特点，选择错位相减法求解数列的和。
解: (1)由a₁，a₂，a₅是等比数列{b_n}的前三项得，
a₂²= a₁·a₅⇒(a₁+d)²=a₁· (a₁+4d)                            ········ 2分
⇒a₁²+2a₁d+ d² = a₁²+4a₁d⇒d² =2a₁d，又d≠0，所以d=2a₁=2，
从而a_n= a₁+(n－1) d=2n－1，                            ·········· 5分
则b₁= a₁=1，b₂= a₂=3，
则等比数列{b_n}的公比q=3，从而b_n=3^n－1．               ··········· 7分
(2)由(1)得，c_n=a_n·b_n=(2n－1)·3^n－1，                       ········ 8分
则S_n= 1·1+3·3+5·3²+7·3³+…+(2n－1)·3^n－1               ①
3S_n=    1·3+3·3²+5·3³+…+(2n－3)·3^n－1+(2n－1)·3ⁿ       ②  ······· 10分
①－②得， －2S_n= 1·1+2·3+2·3²+2·3³+…+2·3^n－1－(2n－1)·3ⁿ 
=1+2×

－(2n－1)·3ⁿ=－2 (n－1)·3ⁿ－2             ······· 13分
则S_n=(n－1)·3ⁿ+1．                                    15分

考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分15分)在等差数列{an}中.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．