题文
(本小题满分16分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2n+1，nÎN*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn= log2
，Tn=
+
+
+…+
，是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n，有Tn>
恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）an=(n+1)2n，nÎN*．（2）存在最大正整数k=5，使得Tn>恒成立．
解析
本试题主要是考查了数列的前n项和与通项公式之间的互化问题，并能结合等差数列的定义得到通项公式，以及跟木同通项公式的特点，求解数列的和，采用了函数的单调性的思想，求解最值，从而得到常数k的值。（1）根据已知的数列的前n项和与通项公式的关系，可以对于n=1,和n》2分为两种情况来分析得到结论。
（2）根据第一问中的通项公式，表示bn= log2
= n+1，和Tn，然后利用整体的单调性来求解参数k的值。
解: (1)当n=1时，a1=S1=2a1-22⇒a1=4； ·········· 1分
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2an-2n+1)－(2a n－1-2n)⇒an- a n－1=2n，·········· 2分
⇒
－
=1，且
=2， ········ 3分
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
则
=2+(n－1)×1=" n" +1，所以an=(n+1)2n，nÎN*． ········ 6分
(2)由(1)得Sn=2an-2n+1=(n+1)2n+1-2n+1=n2n+1， ·········· 8分
则
=2n+1，所以bn= log2
= n+1， ········ 10分
所以Tn=
+
+
+…+
=
+
+
+…+
，
Tn+1=
+
+
+…+
+
+
=
+
+
+…+
+
+
，
Tn+1－Tn=
+
－
=
，
又n是正整数，所以Tn+1－Tn=
>0，即Tn+1>Tn，
所以数列{Tn}是递增的数列，又T1 =
=
， ········ 14分
所以Tn≥T1=
，要使Tn>
恒成立，只需
>
，即k<6，
又k是正整数，故存在最大正整数k=5，使得Tn>
恒成立． 16分
考点
据考高分专家说，试题“(本小题满分16分)已知数列{an}的前.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
