数列的前n项和为，存在常数A，B，C，使得对任意正整数n都成立。若数列为等差数列，求证：3A－B＋C＝０；若设数列的前ｎ项和为，

题文

（本小题满分16分）
数列

的前n项和为

，存在常数A，B，C，使得

对任意正整数n都成立。
（１） 若数列

为等差数列，求证：3A－B＋C＝０；
（２） 若

设

数列

的前ｎ项和为

，求

；
（３） 若C=0，

是首项为1的等差数列，设

，求不超过P的最大整数的值。 题型：未知 难度：其他题型

答案

⑴见解析；⑵

．⑶不超过

的最大整数为

．

解析

本试题主要是考查了数列的通项公式的求解，以及数列的求和，和运用数列来证明不等式的综合运用。
（1）利用已知条件中通项公式和前n项和的关系式，得到前几项，结合等差数列的定义得到关系的证明。
（2）利用第一问的结论，表示数列的通项公式，分析特点，运用错位相减法等求解前n项和。
（3）根据等差数列得到需要求解的和式，得到结论。
解：⑴因为

为等差数列，设公差为

，由

，
得

，
即

对任意正整数

都成立．
所以

所以

．      ………………………………4分
⑵ 因为

，所以

，
当

时，

，
所以

，即

，
所以

，而

，
所以数列

是首项为

，公比为

的等比数列，所以

． ……………7分
于是

．所以

①，

，②
由①

②，
得

．
所以

．…………………………………………………………………10分
⑶ 因为

是首项为

的等差数列，由⑴知，公差

，所以

．
而




，……………………………14分
所以

，
所以，不超过

的最大整数为

．………………………………………………16分

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分16分）数列的前n项和为，存.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．