已知数列｛an｝是以d为公差的等差数列，数列｛bn｝是以q为公比的等比数列若数列｛bn｝的前n项和为Sn，且a1＝b1＝d＝2，S3＜

题文

（本小题满分14分）已知数列｛a_n｝是以d为公差的等差数列，数列｛b_n｝是以q为公比的等比数列
（Ⅰ）若数列｛b_n｝的前n项和为S_n，且a₁＝b₁＝d＝2，S₃＜5b₂＋a₈₈－180，求整数q的值
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列｛b_n｝中是否存在一项b_k，使得b_,k恰好可以表示为该数列中连续P（P∈N，P≥2）项和？请说明理由。
（Ⅲ）若b₁＝a_r，b₂＝a_s≠a_r， b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s—r）是（t—r）的约数）求证：数列｛b_n｝中每一项都是数列｛a_n｝中的项. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）q=2.（Ⅱ不存在；（Ⅲ）见解析。

解析

本试题主要是考查了数列的通项公式和数列求和的综合运用。
（1）若数列｛b_n｝的前n项和为S_n，且a₁＝b₁＝d＝2，S₃＜5b₂＋a₈₈－180，借助于通项公式得到q的值。
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，假设数列｛b_n｝中存在一项b_k，使得b_,k恰好可以表示为该数列中连续P（P∈N，P≥2）项和，然后推理证明。
（Ⅲ）若b₁＝a_r，b₂＝a_s≠a_r， b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s—r）是（t—r）的约数），要证明数列｛b_n｝中每一项都是数列｛a_n｝中的项，只要分析通项公式的特点可以得到。
（Ⅰ）由题意知a_n=2n，b_n=2·

^n—1

 由S₃＜5b₂＋a₈₈－180得.
b₁+b₂+b₃＜a₈₈＋5b₂－180

 b₁—4b₂+b₃＜176—180

q²—4q+3＜0
解得1＜q＜3,q为值数.

q="2." ………………………………4分
（Ⅱ）假设数列｛b_n｝中存在一项b_k满足b_k=b_m+b_m+1+……b_m+p—1


 b_n=2ⁿ

 b_k＞b_m+p—1

2^k＞2^m+p—1

k＞m+p—1

k≥m+p.]
又b_k=2^k=b_m+b_m+1=2^m+2^m+1+2^m+p—1=

=2^m+p—2^m


2^k＜2^m+p

k＜m+p与k≥m+p矛盾，

不存在………………………………9分
（Ⅲ）由b₁=a_r得b₂=b₁q=a_rq=a_s=a_r+(s—r)d，则d=


又b₃=b₁q²=a_r.q²=a_t=a_r+(t—r)d

a_rq²—a_r=(t—r)




a_r(q+1)(q—1)=a_r(q—1).




a_s≠a_r

b₁≠b₂

q≠1.又a_r≠0
故q=

—1又t＞s＞r且（s—r）是(t—r)的约数 

q是正整数且q≥2
对于数列｛b_n｝中任一项b_i(这里只讨论i＞3的情形)，
有b_i=a_rq^i—1= a_r+a_r(q^i—1—1)= a_r+ a_r（q—1）（1+q+…+q^i—2）
= a_r+d(s—r)(1+q+…+q^i—2)=a_r＋[((s—r)(1+q+…+qⁱ⁺²)+1)—1]d
由于（s—r）(1+q+…+q^i—2)+1为正整数


b_i一定是数列｛a_n｝中的项……………………………14分

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知数列｛an｝是以.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．