已知函数的图像经过点A(0，0)，B(3，7)及C，为数列的前n项和求若数列满足，求数列的前n项和

题文

已知函数

的图像经过点A(0，0)，B(3，7)及C

，

为数列

 的前n项和


（I）求


（II）若数列

满足

，求数列

的前n项和

题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）S_n＝2ⁿ－1（n∈N^*a_n＝2^n－1（n∈N^*）．（II）

＝6（n－1）·2^n＋1－

＋12

解析

本试题主要是考察了数列的通项公式和前n项和的关系式的运用。
（1）因为函数

的图像经过点A(0，0)，B(3，7)及C

，则可以得到 f （x）＝2^x－1，∴S_n＝2ⁿ－1（n∈N^*），从而得到通项公式。
（2）由（1）知c_n＝12na_n－n＝6n×2ⁿ－n．，结合错位相减法得到和式
（I）由

，得

，           ……2分
∴f （x）＝2^x－1，∴S_n＝2ⁿ－1（n∈N^*）．……3分
∴当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2ⁿ－2^n－1＝2^n－1． ………4分
当n＝1时， S₁＝a₁＝1符合上式．                            ………5分
∴a_n＝2^n－1（n∈N^*）．                      ………6分
（II）由（1）知c_n＝12na_n－n＝6n×2ⁿ－n． ………8分
从而T_n＝6（1×2＋2×2²＋…＋n×2ⁿ）－（1＋2＋…＋n）
错位相减法得：

＝6（n－1）·2^n＋1－

＋12．

考点

据考高分专家说，试题“已知函数的图像经过点A(0，0)，B(3.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．