在数列中，，且前项的算术平均数等于第项的倍． (即写出此数列的前5项；归纳猜想的通项公式，并加以证明．

题文

（本小题满分14分）
在数列

中，

，且前

项的算术平均数等于第

项的

倍（

）． (即


（1）写出此数列的前5项；
（2）归纳猜想

的通项公式，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

，

；
（2）

，证明见解析

解析

(1)此条件

的本质是

，然后令n=1,2,3,4,5，求出前5项即可。
（2）根据求得的前5项可以归纳出

,由于要证明的结论与n有关，可以考虑采用数学归纳法进行证明：证明要分两个步骤进行：（i）说明n=1时命题成立。（2）先假设n=k时，命题成立；再证明n=k+1时，命题也成立，在证明时要用上n=k时的归纳假设。
解：（1）由已知

，

，分别取

，
得

，

，

，


，所以数列的前5项是：

，


．＿＿4分
（2）由（1）中的分析可以猜想

．＿＿＿＿＿＿6分
下面用数学归纳法证明：
①当

时，公式显然成立．②假设当

时成立，即

，那么由已知，
得

，
即

，所以

，
即

，又由归纳假设，得

，
所以

，即当

时，公式也成立．
由①和②知，对一切

，都有

成立． ----------14分

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）在数列中，，且前项的.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．