设为数列的前项和，对任意的，都有为常数，且．求证：数列是等比数列；设数列的公比，数列满足，求数列的通项公式；在满足的条件下，求数列的前项

题文

设

为数列

的前

项和，对任意的

，都有



为常数，且

．
（1）求证：数列

是等比数列；
（2）设数列

的公比

，数列

满足

，求数列

的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列

的前

项和

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：当

时，

，解得

．…………………1分
当

时，

．即

．………2分
又

为常数，且

，∴



．          ………………………3分
∴数列

是首项为1，公比为

的等比数列．      ……………………4分
（2）解：由（1）得，



，

．  ………………………5分
∵

，∴

，即



．………7分
∴

是首项为

，公差为1的等差数列．………………………………………8分
∴

，即

（

）．………………………9分
（3）解：由（2）知

，则

．
所以

，                     ………………10分
即



，     ① ……11分
则

，   ②………12分
②－①得

，     ……………………13分
故

．  ………………14分

解析

本题主要考查等比数列的性质．当出现等比数列和等差数列相乘的形式时，求和可用错位相减法．
（1）当n≥2时，根据an=Sn-Sn-1，进而得出an和an-1的关系整理得a_n

a_n-1 =m

( 1+m) ，因m为常数，进而可证明当n≥2时数列{an}是等比数列．，当n=1时等式也成立，原式得证．
（2）根据（1）可得f（m）的解析式．再根据bn=f（bn-1）整理可得（1

bn） -（1

 b_n-1） =1进而推知数列{bn}为等差数列，首项为2a1，公差为1，再根据等差数列的通项公式可得答案．
（3）把（2）中的bn代入{2ⁿ⁺¹

b_n }，再通过错位相减法求得Tn

考点

据考高分专家说，试题“设为数列的前项和，对任意的，都有为常数，.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．