题文
已知一个数列
的各项都是1或2．首项为1，且在第
个1和第
个1之间有
个2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．记数列的前
项的和为
．
参考：31×32=992，32×33＝1056，44×45=1980，45×46=2070，2011×2012＝4046132
（１）试问第2012个1为该数列的第几项？
（２）求
和
；
（３）（特保班做）是否存在正整数
，使得
？如果存在,求出
的值；如果不存在,请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（１）4046133（２）
，
（３）存在，
=993+29=1022
解析
本小题关键是读懂题意归纳出规律：将第k个1与第k+1个1前的2记为第k对，即 (1,2)为第1对，共1+1=2项；(1,2,2,2)为第2对，共1+3=4项；….从而可归纳出
为第k对，共
项, 故前k对共有项数为
.
（1）（2）在此基础上容易解决.
（3）解本小题的关键是确定前k对所在全部项的和为
,问题到此基本得以解决.
解：将第
个1与第
个1前的2记为第
对，
即
为第1对，共
项；
为第2对，共
项；……；
为第k对，共
项；
故前k对共有项数为
．
（１）第2012个1所在的项之前共有2011对，所以2012个1为该数列的
2011×(2011+1)+1=4046133（项）
（２）因44×45=1980，45×46=2070，
，
故第2012项在第45对中的第32个数，从而
又前2012项中共有45个1，其余2012－45＝1967个数均为2，
于是
（３）前k对所在全部项的和为
，易得，
，
，
即
且自第994项到第1056项均为2，而2012-1954=58能被2整除，
故存在
=993+29=1022，使
．
考点
据考高分专家说，试题“已知一个数列的各项都是1或2．首项为1，.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
