(本小题满分14分)已知等差数列{an}中，a1=－1，前12项和S12=186．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若数列{bn}满足，记数列{bn}的前n

题文

(本小题满分14分)
已知等差数列{a_n}中，a₁=－1，前12项和S₁₂=186．
(Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{b_n}满足

，记数列{b_n}的前n项和为T_n,
求证：

 (n∈N*). 题型：未知 难度：其他题型

答案

(Ⅰ) a_n=－1+(n－1)×3=3n－4. (Ⅱ)见解析。

解析

第一问考查数列中基本量的运算，这类问题主要是要把数列的通项与前n项和都用其首项与公差（或公比）表示出来；第二问先判断数列{b_n}是等比数列，求出其前n项和，然后就很容易证明。
解：(Ⅰ)设等差数列{a_n}的公差为d，∵ a₁=－1，S₁₂=186，    
∴

，                                      ……2分
即 186=－12+66d.                   ……4分∴d=3.                                                          ……5分
所以数列{a_n}的通项公式 a_n=－1+(n－1)×3=3n－4.                  ……7分
(Ⅱ)∵

，a_n=3n－4，∴

.                      ……8分
∵ 当n≥2时，

，                                  ……9分
∴ 数列{b_n}是等比数列，首项

，公比

.            ……10分
∴

.                              ……12分
∵

，∴

，
∴

.                                      ……13分
所以

.                                      ……14分

考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分14分)已知等差数列{an}.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．