已知．设是首项为m2，公比为m的等比数列．求证：数列是等差数列； 若，且数列的前n项和为Sn，当m＝2时

题文

已知

（m为常数，m>0且m≠1）．
设

（n∈

^）是首项为m²，公比为m的等比数列．
（1）求证：数列

是等差数列；
（2）若

，且数列

的前n项和为S_n，当m＝2时，求S_n； 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）见解析（2）2^n＋2·n

解析

本题考查数列的定义的应用，错位相减法，数列与函数相结合，恒成立问题的综合应用，考查分析问题解决问题，转化思想的应用，知识面广，运算量大．
（1）利用f （x）=m^x（m为常数，m＞0且m≠1）．代入a_n，求出a_n的表达式，利用等差数列的定义，证明数列{a_n}是等差数列；
（2）通过b_n=a_n f （a_n），且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=2时，求出S_n的表达式，利用错位相减法求出S_n；
解：（1）由题意f（a_n）＝

，即

．
∴a_n＝n＋1，（2分）      ∴a_n＋1－a_n＝1，
∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．
（2）由题意

＝（n＋1）·mⁿ⁺¹，
当m＝2时，b_n＝（n＋1）·2^n＋1
∴S_n＝2·2²＋3·2³＋4·2⁴＋…＋（n＋1）·2^n＋1 ①
①式两端同乘以2，得
2S_n＝2·2³＋3·2⁴＋4·2⁵＋…＋n·2^n＋1＋（n＋1）·2^n＋2 ②
②－①并整理，得
S_n＝－2·2²－2³－2⁴－2⁵－…－2^n＋1＋（n＋1）·2^n＋2
＝－2²－（2²＋2³＋2⁴＋…＋2^n＋1）＋（n＋1）·2^n＋2
＝－2²－

＋（n＋1）·2^n＋2
＝－2²＋2²（1－2ⁿ）＋（n＋1）·2^n＋2＝2^n＋2·n．

考点

据考高分专家说，试题“已知（m为常数，m>0且m≠1）．.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．