已知等比数列的前项和为，正数数列的首项为，且满足：．记数列前项和为．(Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求数列的通项公式；(Ⅲ)是否存在正整数，且，使得成等比数列？若存在，求

题文

已知等比数列

的前

项和为

，正数数列

的首项为

，
且满足：

．记数列

前

项和为

．
(Ⅰ)求

的值； (Ⅱ)求数列

的通项公式；
(Ⅲ)是否存在正整数

，且

，使得

成等比数列？若存在，求出

的值，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(Ⅰ)

 (Ⅱ)



 (Ⅲ) 存在，

。

解析

熟练掌握并灵活运用等差等比数列的通项公式以及求和公式是解决此题的关键．
（Ⅰ）根据Sn求出a₁，a₂，a₃，根据{a_n}为等比数列，确定出c的值．
（Ⅱ）根据b_n+1=
b_n
1+2b_n
 (n∈N*)，得到bn与bn+1的递推关系，根据特殊的数列求通项．
（Ⅲ）先求出Tn，假设满足T₁，T_m，T_n成等比数列，得到n与m的关系式，再根据1＜m＜n，求出m，n的范围，根据m，n是正整数，求出m，n的值．
解：(Ⅰ)

，

，

………（3分）
因为

为等比数列所以

，得

 ………………………（4分）
经检验此时

为等比数列.          ………………（5分）
(Ⅱ)∵

   ∴


数列

为等差数列  …………………………………………（7分）
又

，所以


所以



                          …………（10分）
(Ⅲ)

 ……（12分）
假设存在正整数

，且

，使得

成等比数列
则

，所以


由

得

且


即

，所以


因为

为正整数，所以

，此时


所以满足题意的正整数存在，

．…………（15分）

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列的前项和为，正数数列的首项为.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．