(本小题满分12分)已知数列中，，且点在直线上.数列中，，，(Ⅰ) 求数列的通项公式求数列的通项公式；若，求数列的前项和.

题文

(本小题满分12分)
已知数列

中，

，且点

在直线

上.数列

中，

，

，
(Ⅰ) 求数列

的通项公式（Ⅱ）求数列

的通项公式； 
（Ⅲ）（理）若

，求数列

的前

项和

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(Ⅰ)

（n∈

）；（Ⅱ）

；（Ⅲ）

（n∈

）

解析

本题考查数列的通项公式的计算和前n项和公式的求法，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意错位相减法的灵活运用．
（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+3得a_n+1+3=2（a_n+3），由此能求出a_n．
（Ⅱ）因为（b_n+1，b_n）在直线y=x-1上，所以b_n=b_n+1-1即b_n+1-b_n=1，由此能求出b_n．
（Ⅲ）由c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹-3+3=2ⁿ⁺¹，知b_nc_n=n•2ⁿ⁺¹，所以S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，再由错位相减法能求出S_n．
解：(Ⅰ)由

得


所以

是首项为

，公比为2的等比数列.
所以

，故

（n∈

）
（Ⅱ）因为

在直线

上，
所以

即

又


故数列

是首项为1，公差为1的等差数列，
所以


（Ⅲ）

=

=

 故


所以


故


相减得


所以

（n∈

）

考点

据考高分专家说，试题“(本小题满分12分)已知数列中，，且点在.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．