已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立.(1)求,的值;(2)设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值.

题文

（12分）已知数列

的前

项和为

,且

对一切正整数

都成立.
(1)求

,

的值;
(2)设

,数列

的前

项和为

,当

为何值时,

最大?并求出

的最大值. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）



 
(2),n=7时,T_n取得最大值,且T_n的最大值为 T₇=

 

解析

(1)令n=1则


再令n=2可得

然后两方程联立可解得

,

的值.
(2)在（1）的基础上，可知


再根据

 , (2+

)a_n-1=S₂+S_n-1
所以a_n=

 ,
据此可知{a_n}是等比数列，因而

,
所以

,所以可知数列{b_n}是以

为公差,且单调递减的等差数列.然后根据b_n>0可解出n的范围，从而确定T_n的最大值.
取n=1,得

    ①
取n=2,得

    ②
又②-①,得

      ③
(1)若a₂="0," 由①知a₁=0, 
(2)若a<sub>2

,</sub>   ④
由①④得:



 
(2)当a₁>0时,由(I)知,

 
当

 , (2+

)a_n-1=S₂+S_n-1
所以,a_n=

 
所以

 
令

 
所以,数列{b_n}是以

为公差,且单调递减的等差数列.
则 b₁>b₂>b₃>>b₇=

 
当n≥8时,b_n≤b₈=



 
所以,n=7时,T_n取得最大值,且T_n的最大值为
T₇=

 

考点

据考高分专家说，试题“（12分）已知数列的前项和为,且对一切正.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．