题文
（本小题满分14分）已知函数
的图像经过点
.
（1）求该函数的解析式；
（2）数列
中，若
，
为数列
的前
项和，且满足
，
证明数列
成等差数列，并求数列
的通项公式；
（3）另有一新数列
，若将数列
中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成
如下数表：
记表中的第一列数
构成的数列即为数列
，上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当
时，求上表中第
行所有项的和． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
.（2）
（3）
．
解析
本试题主要是考查了数列与函数的综合运用。（1）由函数
的图像经过点
得：
，
函数的解析式为
（2）由已知，当
时，
，即
.
又
，
所以
，即
，
所以
得到通项公式。
（3）设上表中从第三行起，每行的公比都为
，且
．
因为
，
所以表中第1行至第12行共含有数列
的前78项，
故
在表中第13行第三列，然后利用数列的公式得到求解。
解（1）由函数
的图像经过点
得：
，
函数的解析式为
. …………..2分
（2）由已知，当
时，
，即
.
又
，
所以
，即
，……………..5分
所以
， ……………………..7分
又
．
所以数列
是首项为1，公差为
的等差数列．
由上可知
，即
．
所以当
时，
．
因此
……………………..9分
（3）设上表中从第三行起，每行的公比都为
，且
．
因为
，
所以表中第1行至第12行共含有数列
的前78项，
故
在表中第13行第三列， ……………………..11分
因此
．
又
， 所以
． ……………………..13分
记表中第
行所有项的和为
，
则
．…..16分
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）已知函数的图像经过点.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
