已知等比数列{an}的各项均为正数，且 2a1 +3a2 =1，=9a2a6．(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式；设 bn=log3a1

题文

（本小题满分12分）
已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且 2a₁ +3a₂ =1，

 =9a₂a₆．
(Ⅰ) 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设 b_n=log₃a₁ +log₃a₂ +…+ log₃a_n，求

的前n项和T_n；
（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，求使

 ≥ (7− 2n)T_n恒成立的实数k 的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）

．（Ⅱ）前n 项和为−

．（Ⅲ）

解析

(1)根据2a₁ +3a₂ =1，

 =9a₂a₆．可建立关于a₁和q的方程求出a₁和q的值，从而得到{a_n}的通项公式.
(2)再（1）的基础上根据对数的运算性质可得

，因而可得

 =−2

,显然采用叠加求和的方法求和.
（3）可令

,采用作差法求

的最大值，从而求出k的范围.
（Ⅰ）设数列

的公比为

(q>0)，
由

 得

，

．
故数列

的通项公式为

．
（Ⅱ ）b_n =log₃a₁ +log₃a₂ +…+ log₃a_n =−


故

 =−2


T_n =

 +

 +

 +…+


= −2

 =−

  
所以数列

 的前n 项和为−

．
（Ⅲ ）化简得

对任意

恒成立
设

，则


当

为单调递减数列，


为单调递增数列，
所以，n=5时，

取得最大值为

．
所以, 要使

对任意

恒成立，


点评：掌握等差等比数列的通项及性质以及常用数列求和的方法是求解此类问题的关键.

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知等比数列{an}.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．