已知数列{an}是等差数列，a2＝3，a5＝6，数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn＋bn＝1.(1)求数列{an}的通项公式与前n项

题文

（理科题）（本小题12分）
已知数列{a_n}是等差数列，a₂＝3，a₅＝6，数列{b_n}的前n项和是T_n，且T_n＋

b_n＝1.
(1)求数列{a_n}的通项公式与前n项的和

；
(2)求数列{b_n}的通项公式. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)

.

＝

. (2)证明：见解析。

解析

（1）设{a_n}的公差为d，进而根据等差数列通项公式表示出a₂和a₅，求得a₁和d，则数列的通项公式和求和公式可得．
（2）根据T_n－T_n-1=b_n，整理得

，判断出{b_n}是等比数列．进而求得b₁，利用等比数列的通项公式求得答案．.
(1)设{a_n}的公差为d，则：a₂＝a₁＋d，a₅＝a₁＋4d.


   ……………2分
∴a₁＝2，d＝1   ……………3分
∴a_n＝2＋(n－1)＝n＋1.…………4分
Sn＝na₁＋

d＝

.………………6分
(2)证明：当n＝1时，b₁＝T₁，
由T₁＋

b₁＝1，得b₁＝

. ………8分
当n≥2时，∵T_n＝1－

b_n，T_n－1＝1－

b_n－1，
∴T_n－T_n－1＝

 (b_n－1－b_n)，……………10分
即b_n＝

 (b_n－1－b_n).
∴b_n＝

b_n－1. …………11分
∴{b_n}是以

为首项，

为公比的等比数列.∴b_n＝

·(

)^n－1＝

.……………12分
点评：先求出等差数列的前n项和S_n,然后就可以求出T_n,再利用

可求{b_n}
的通项公式。

考点

据考高分专家说，试题“（理科题）（本小题12分）已知数列{an.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．