若等差数列的前项和为，且满足为常数，则称该数列为数列．判断是否为数列？并说明理由；若首项为且公差不为零的等差数列为数列，试求出该数

题文

（本题满分14分）
若等差数列

的前

项和为

，且满足

为常数，则称该数列为

数列．
（1）判断

是否为

数列？并说明理由；
（2）若首项为

且公差不为零的等差数列

为

数列，试求出该数列的通项公式；
（3）若首项为

，公差不为零且各项为正数的等差数列

为

数列，正整数

满足

，求

的最小值 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)它为

数列 ；(2)

,其中

.
（3）最小值为

，当且仅当

取等号

解析

（1）由等差数列的通项公式找出等差数列的首项和公差，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S_n和S_2n，求出

等于

为常数，所以得到该数列为S数列；
（2）设此数列的公差为d，根据首项和公差，利用等差数列的前n项和的公式表示出S_n和S_2n，因为此数列为S数列，得到

等于常数，设比值等于k，去分母化简后得到关于n的一个多项式等于0，令其系数和常数项等于0即可求出k和d值，根据首项和公差d写出该数列的通项公式即可．
（3）根据已知条件首项为a₁的各项为正数的等差数列{a_n}为S数列，设n+h=2008，利用基本不等式求出

的最小值．
解：(1)由

,得

，所以它为

数列
(2)假设存在等差数列

,公差为

,则


(常数)


化简得


① 
由于①对任意正整数

均成立,则


解得:

 ，故存在符合条件的等差数列.
其通项公式为:

,其中

.
（3）









其最小值为

，当且仅当

取等号
点评：解决该试题的关键是学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，掌握题中的新定义并会利用新定义化简求值。

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分14分）若等差数列的前项和为，.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．