已知等差数列中，.求的通项公式；调整数列的前三项的顺序，使它成为等比数列的前三项，求的前项和.

题文

（本题满分12分）已知等差数列

中，

.
（Ⅰ）求

的通项公式；
（Ⅱ）调整数列

的前三项

的顺序，使它成为等比数列

的前三项，求

的前

项和. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）a_n=3n－5.
（Ⅱ）（i）

.
（ii）

 。

解析

（1）先利用已知条件求得a₁=-2，a₈=19进而求出公差即可求{a_n}的通项公式；
（2）先求出数列{a_n}的前三项再利用等比数列满足的条件进行调整，求出等比数列{b_n}的前三项，知道首项和公比，再代入等比数列的求和公式即可求出{b_n}的前n项和．
解：（Ⅰ）由已知，得

      ----- -----------1分
又

，∴

，

，∴

的公差d=3  -----3分
∴a_n=a₁+(n－1)d=－2+3(n－1)=3n－5.     ---------------------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），得a₁=－2，a₂=1，a₃=4.
依题意可得：数列{b_n}的前三项为b₁=1，b₂=－2，b₃=4或b₁==4，b₂=－2，b₃="1" --8分
（i）当等比数列{b_n}的前三项为b₁=1，b₂=－2，b₃=4时，则q=－2 .


.    -------------------------9分
（ii）当第比数列{b_n}的前三项为b₁=4，b₂=－2，b₃=1时，则

.


       -------------------12分考点：
点评：解决该试题的关键是在对等比数列进行求和时，一定要先看等比数列的公比是否为1，再代入求和公式。

考点

据考高分专家说，试题“（本题满分12分）已知等差数列中，.（Ⅰ.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．