题文
（本题满分14分）已知数列
中，
，
，其前
项和
满足
（
，
）．
（Ⅰ）求证：数列
为等差数列，并求
的通项公式；
（Ⅱ）设
， 求数列
的前
项和
；
（Ⅲ）设
（
为非零整数，
），试确定
的值，使得对任意
，有
恒成立． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
． （Ⅱ）
（Ⅲ）存在
，使得对任意
，都有
．
解析
（1）利用数列的前n项和与通项an之间的关系，求出该数列的通项公式是解决本题的关键；注意分类讨论思想的运用；
（2）利用第一问中所求的公式表示出数列{bn}的通项公式，根据数列的通项公式选择合适的方法----错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn．
（3）要使得
即为
，对于n分为奇数和偶数来得到。
解：（Ⅰ）由已知，
（
，
），
即
（
，
），且
．
∴数列
是以
为首项，公差为1的等差数列．∴
． …………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
它的前
项和为
（Ⅲ）∵
，∴
，
∴
恒成立，
∴
恒成立．
（ⅰ）当
为奇数时，即
恒成立当且仅当
时，
有最小值为1，∴
．
（ⅱ）当
为偶数时，即
恒成立当且仅当
时，
有最大值
，∴
．即
，又
为非零整数，则
．
综上所述，存在
，使得对任意
，都有
．…………14分n之间的关系，考查等差数列的判定，考查学生分类讨论思想．运用数列的通项公式选取合适的求和方法求出数列{bn}的前n项和，体现了化归思想．
点评：解决该试题的关键是能将已知中前n项和关系式，通过通项公式与前n项和的关系得到通项公式的求解，并合理选用求和方法得到和式。
考点
据考高分专家说，试题“（本题满分14分）已知数列中，，，其前项.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
