题文
已知数列
是各项均不为0的等差数列，公差为d，
为其前n项和，且满足
,
．数列
满足
,
，
为数列
的前n项和．
（1）求数列
的通项公式
和数列
的前n项和
；
（2）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
（3）是否存在正整数
，使得
成等比数列？若存在，求出所有
的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）
． ……9分
（3） 存在
解析
(1)由
可令n=1,n=2得到关于a1与d的两个方程，从而可解出a1和d,得到an的通项公式.因为
,所以
显然要采用裂项求和的方法求出其前n项和.
(2)因为本小题是关于n的不等式恒成立问题，应对n的奇偶进行讨论.分别再对得到的结果求交集.
（3）解本小题的关键由
，
若
成等比数列，则
，即
．
从而得
,据此得到m的范围，找到m的值，进一步得到n的值.
解：（1）在
中，令
，
，
得
即
……1分
解得
，
，
……2分
又
时，
满足
，
， ……3分
． ……4分
（2）①当
为偶数时，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立． ……5分
，等号在
时取得
此时
需满足
……6分
②当
为奇数时，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立． ……7分
是随
的增大而增大，
时
取得最小值
．
此时
需满足
． ……8分
综合①、②可得
的取值范围是
． ……9分
（3）
，
若
成等比数列，则
，……10分
即
．
由
，可得
， ……12分
即
，
． ……13分
又
，且
，所以
，此时
．
因此，当且仅当
，
时，数列
中的
成等比数列． …14分
[另解] 因为
，故
，即
，
．
点评：（1）由an与Sn的关系求通项要注意根据需要给n赋值，每赋一个值就可得到一个方程.
（2）有关n的不等式恒成立问题，要注意题目当中如果有
要注意按n为奇偶进行讨论.
（3）解小题的关键是利用
成等比数列,建立n与m的等式关系，下一步难点在于对式子的变形处理上，要注意体会其方法.
考点
据考高分专家说，试题“已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
