题文
（本小题满分18分）设数列{
}的前
项和为
，且满足
=2-
，(
=1，2，3，…)
(Ⅰ)求数列{
}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{
}满足
=1，且
，求数列{
}的通项公式；
(Ⅲ)
,求
的前
项和
题型：未知 难度：其他题型
答案
(Ⅰ) an=
(n∈N*)； (Ⅱ) bn=3-2(
)n-； (Ⅲ)
。
解析
(Ⅰ)∵n=1时，a1+S1=a1+a1=2
∴a1=1
∵Sn=2-an即an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2
两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0
即an+1-an+an+1=0，故有2an+1=an
∵an≠0 ∴
(n∈N*)
所以，数列{an}为首项a1=1，公比为
的等比数列.an=
(n∈N*)
(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1，2，3，…)
∴bn+1-bn=(
)n-1
得b2-b1=1
b3-b2=
b4-b3=(
)2
……
bn-bn-1=(
)n-2(n=2，3，…)
将这n-1个等式相加，得
bn-b1=1+
又∵b1=1，∴bn=3-2(
)n-1(n=1，2，3，…)
(3)
所以
点评：若已知递推公式为
的形式求通项公式常用累加法。
注：①若
是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若
是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③
是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④
是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
考点
据考高分专家说，试题“（本小题满分18分）设数列{}的前项和为.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
