题文
(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.（理）对于数列
，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数
,公比为正整数
的无穷等比数列
的子数列问题. 为此，他任取了其中三项
.
(1) 若
成等比数列,求
之间满足的等量关系；
(2) 他猜想：“在上述数列
中存在一个子数列
是等差数列”，为此，他研究了
与
的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；
(3) 他又想：在首项为正整数
,公差为正整数
的无穷等差数列中是否存在成等比数列的子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明. 题型：未知 难度：其他题型
答案
(1)
；(2)不成立；(3) 对于首项为正整数
，公差为正整数
的无穷等差数列
，总可以找到一个无穷子数列
,使得
是一个等比数列.
解析
(1)由已知可得：
, 1分
则
,即有
, 3分
，化简可得.
. 4分
(2)
,又
,
故
, 6分
由于
是正整数，且
，则
,
又
是满足
的正整数，则
,
,
所以，
>
,从而上述猜想不成立. 10分
(3)命题:对于首项为正整数
，公差为正整数
的无穷等差数列
，总可以找到一个无穷子数列
,使得
是一个等比数列. 13分
此命题是真命题,下面我们给出证明.
证法一: 只要证明对任意正整数n,
都在数列{an}中.因为bn=a(1+d)n=a(1+
d+
d2+…+
dn)=a(Md+1)，这里M=
+
d+…+
dn-1为正整数，所以a(Md+1)=a+aMd是{an}中的第aM+1项，证毕. 18分
证法二：首项为
,公差为
(
)的等差数列为
,考虑数列
中的项:
依次取数列
中项
,
,
,则由
,可知
,并由数学归纳法可知,数列
为
的无穷等比子数列. 18分
点评：此题考查了等差数列的性质即通项公式，同时本题属于新定义及结论探索性问题，这类试题的一般解法是：充分抓住已知条件，找准问题的突破点，由浅入深，多角度、多侧面探寻，联系符合题设的有关知识，合理组合发现新结论，围绕所探究的结论环环相扣，步步逼近发现规律，得出结论．熟练掌握公式及性质是解本题的关键．
考点
据考高分专家说，试题“(本题满分18分) 本题共有3个小题，第.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质等差数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。
等差数列的性质：
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap；
（5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即
（8）
仍为等差数列，公差为
对等差数列定义的理解：
①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列．
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有
还有
③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④
是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明an+1-an是一个与n无关的常数即可。
等差数列求解与证明的基本方法：
(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
