如图，在△ABC中，已知A，B，CD⊥AB于D，△ABC的垂心为H，且，求点H的轨迹方程；若过定点F的直线交曲

题文

如图，在△ABC中，已知A（

，0），B（

，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心为H，且

，
（Ⅰ）求点H的轨迹方程；
（Ⅱ）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G，H（点G在F，H之间），且满足

，求λ的取值范围。

题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）设点H的坐标为（x，y），C点坐标为（x，m），则D（x，0），
∴

，
∴m=2y，
故C点为（x，2y），
∵

，
∴

，x²+2y²=2，
故点H的轨迹方程为

（y≠0）；
（Ⅱ）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y=kx+2，
代入椭圆方程

，得

，
由Δ＞0得

，
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
则

，
又∵

，
∴（x₁，y₁-2）=λ（x₂，y₂-2），
∴x₁=λx₂，
∴x₁+x₂=（1+λ）x₂，

，
∴

，
∴

，
整理得

，


，
∴

，
∴

，解得

，


时，

，
∴

，
又∵0＜λ＜1，
∴

；
又当直线GH斜率不存在，方程为x=0，

，
∴

。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“如图，在△ABC中，已知A（.....”主要考查你对 [向量共线的充要条件及坐标表示 ]考点的理解。 向量共线的充要条件及坐标表示

向量共线的充要条件：

向量

与

共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得

。

向量共线的几何表示：

设

，其中

，当且仅当

时，向量

共线。

向量共线（平行）基本定理的理解：

(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.