设a=，b=，c=，求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；求c在a方向上的投影；求λ1和λ2，使

题文

设a=（﹣1，1），b=（4，3），c=（5，﹣2），
（1）求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；
（2）求c在a方向上的投影；
（3）求λ₁和λ₂，使c=λ₁a+λ₂b 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵a=（﹣1，1），b=（4，3），且﹣1×3≠1×4，
∴a与b不共线．又a·b=﹣1×4+1×3=﹣1，|a|=

 ，|b|=5，
∴cos＜a，b＞=

 =

 =﹣

 ．
（2）∵a·c=﹣1×5+1×（﹣2）=﹣7，
∴c在a方向上的投影为 

=

 =﹣



  ．
（3）∵c=λ₁a+λ₂b，
∴（5，﹣2）=λ₁（﹣1，1）+λ₂（4，3） =（4λ₂﹣λ₁，λ₁+3λ₂），
∴

 ，解得

 

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“设a=（﹣1，1），b=（4，3）.....”主要考查你对 [向量共线的充要条件及坐标表示 ]考点的理解。 向量共线的充要条件及坐标表示

向量共线的充要条件：

向量

与

共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得

。

向量共线的几何表示：

设

，其中

，当且仅当

时，向量

共线。

向量共线（平行）基本定理的理解：

(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.