设两个非零向量e1与e2不共线，如果AB=e1+e2，BC=e1+8e2，CD=3．试确定实数k的值，使ke1+e2和e1+ke2共线

题文

设两个非零向量e₁与e₂不共线，（1）如果AB=e₁+e₂，BC=e₁+8e₂，CD=3（e₁-e²）．（2）试确定实数k的值，使ke₁+e₂和e₁+ke₂共线．求证：A、B、D三点共线． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）∵BC+CD=BD=5e1+5e2
又AB=e1+e2
∴BD=5AB
∴A、B、D共线
（2）要使ke1+e2和e1+ke2共线，只需存在实数λ使ke1+e2=λ(e1+ke2)
∴(k-λ)e1+(1-kλ)e2=0
∴k-λ=01-kλ=0
∴k=1或-1

解析

BC

考点

据考高分专家说，试题“设两个非零向量e1与e2不共线，（1）如.....”主要考查你对 [向量共线的充要条件及坐标表示 ]考点的理解。 向量共线的充要条件及坐标表示

向量共线的充要条件：

向量

与

共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得

。

向量共线的几何表示：

设

，其中

，当且仅当

时，向量

共线。

向量共线（平行）基本定理的理解：

(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.