已知O为A，B，C三点所在直线外一点，且OA=λOB+μOC．数列{an}，{bn}满足a1=2，b1=1，且an=λan-1+μbn-1+1bn=μan-1+

题文

已知O为A，B，C三点所在直线外一点，且OA=λOB+μOC．数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，b₁=1，且an=λan-1+μbn-1+1bn=μan-1+λbn-1+1（n≥2）．
（Ⅰ）求λ+μ；
（Ⅱ）令c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的通项公式；
（III）当λ-μ=12时，求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）A，B，C三点共线，设AB=mBC，
则AB=OB-OA=mBC=m(OC-OB)，（2分）
化简得：OA=(m+1)OB-mOC，所以λ=m+1，μ=-m，
所以λ+μ=1．（4分）
（II）由题设得
a_n+b_n=（λ+μ）（a_n-1+b_n-1）+2=a_n-1+b_n-1+2，（n≥2）（6分）
即c_n=c_n-1+2（n≥2），∴{c_n}是首项为a₁+b₁=3，
公差为2的等差数列，通项公式为c_n=2n+1（18分）
（III）由题设得
an-bn=(λ-μ)(an-1-bn-1)=12(an-1-bn-1)，(n≥2)，（10分）
令d_n=a_n-b_n，则dn=12dn-1(n≥2)．
所以{d_n}是首项为a₁-b₁=1，公比为12的等比数列，
通项公式为dn=12n-1．（12分）
由an+bn=2n+1an-bn=12n-1
解得an=12n+n+12．（14分）

解析

AB

考点

据考高分专家说，试题“已知O为A，B，C三点所在直线外一点，且.....”主要考查你对 [向量共线的充要条件及坐标表示 ]考点的理解。 向量共线的充要条件及坐标表示

向量共线的充要条件：

向量

与

共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得

。

向量共线的几何表示：

设

，其中

，当且仅当

时，向量

共线。

向量共线（平行）基本定理的理解：

(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.