已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=22，短轴长为2．求椭圆方程；若椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，经过点(0，

题文

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=22，短轴长为2．
（1）求椭圆方程；
（2）若椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，经过点(0，2)且斜率k的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q．是否存在常数k，使得向量OP+OQ与AB共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得2b=2ca=1a2=b2+c2⇒a=2b=1c=1
故椭圆方程是x22+y2=1（4分）
（2）由已知条件，直线l：y=kx+2，代入椭圆方程得x22+(kx+2)2=1．
整理得(12+k2)x2+22kx+1=0①
由已知得△=8k2-4(12+k2)=4k2-2＞0，解得k＜-22或k＞22．（6分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则OP+OQ=(x1+x2，y1+y2)，
由方程①，x₁+x₂=-42k1+2k2． ②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+22． ③
而A(2，0)，B（0，1），AB=(-2，1)，
所以OP+OQ与AB共线等价于x₁+x₂=-2(y1+y2)，
将②③代入上式，解得k=22，（10分）
又k＜-22或k＞22，
故没有符合题意的常数k．（12分）

解析

2b=2ca=1a2=b2+c2

考点

据考高分专家说，试题“已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞.....”主要考查你对 [向量共线的充要条件及坐标表示 ]考点的理解。 向量共线的充要条件及坐标表示

向量共线的充要条件：

向量

与

共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得

。

向量共线的几何表示：

设

，其中

，当且仅当

时，向量

共线。

向量共线（平行）基本定理的理解：

(1)对于向量a（a≠0），b，如果有一个实数λ，使得b=λa，那么由向量数乘的定义知，a与b共线．
(2)反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，即|b|=μ|a|，那么当a与b同方向时，有b=μa；当a与b反方向时，有b=-μa.
(3)向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合.
(4)判断a（a≠0）与b是否共线时，关键是寻找a前面的系数，如果系数有且只有一个，说明共线；如果找不到满足条件的系数，则这两个向量不共线.
(5)如果a=b=0，则数λ仍然存在，且此时λ并不唯一，是任意数值.