已知△ABC的三个顶点坐标分别是A，B，C，BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长．

题文

已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（3，4），C（-1，2），BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长． 题型：未知 难度：其他题型

答案

法一：由A（4，1），B（3，4），C（-1，2），
∴|BC|=25，|AB|=10，
∴D分AC所成的比λ=ADDC=ABBC=22．
由定比分点坐标公式，得xD=4+22×(-1)1+22=9-52yD=1+21+22=2.
∴D点坐标为（9-52，2）．
∴|BD|=(9-52-3)2+(2-4)2=104-682．
法二：设D（x，y），
∵BD是∠ABC的平分线，
∴＜BA，BD＞=＜BC，BD＞
∴BA•BD|BA||BD|=BC•BD|BC|•|BD|，
即BA•BD|BA|=BC•BD|BC|
又BA=（1，-3），BD=（x-3，y-4），BC=（-4，-2）
∴x-3-3y+1210=-4x+12-2y+820
∴（4+2）x+（2-32）y+92-20=0．①
又A、D、C三点共线，∴AD，AC共线
又AD=（x-4，y-1），AC=（x+1，y-2）
∴（x-4）（y-2）=（x+1）（y-1）．②
由①②可解得x=9-52y=2.
∴D点坐标为（9-52，2），|BD|=104-682

解析

5

考点

据考高分专家说，试题“已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，.....”主要考查你对 [线段的定比分点 ]考点的理解。 线段的定比分点

线段的定比分点定义：

设点P是直线P₁P₂上异于P₁、P₂的任意一点，若存在一个实数λ，使P₁P＝λPP₂，λ叫做点P分有向线段

所成的比，P点叫做有向线段

的以定比为λ的定比分点。
当P点在线段 P₁P₂上时，λ＞0；当P点在线段 P₁P₂的延长线上时，λ＜-1；当P点在线段P₂P₁的延长线上时 -1＜λ＜0。
若点P分有向线段

所成的比为λ，则点P分有向线段

所成的比为

。

有向线段的定比分点的坐标公式：

(1)设

，
在使用定比分点的坐标公式时，应明确（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。一般在计算中应根据题设，自行确定起点，分点和终点并根据这些点确定对应的定比λ。
(2)当λ＝1时，就得到P₁P₂的中点公式：

；
(3)三角形ABC的重心公式：设

，则重心

。