已知直线l上有一列点P1，P2，…，Pn，…，其中n∈N*，x1=1，x2=2，点Pn+2分有向线段PnPn+1所成的

题文

已知直线l上有一列点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，其中n∈N^*，x₁=1，x₂=2，点P_n+2分有向线段PnPn+1所成的比为λ（λ≠-1）．
（1）写出x_n+2与x_n+1，x_n之间的关系式；
（2）设a_n=x_n+1-x_n，求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为点P_n+2分有向线段PnPn+1所成的比为λ，
所以PnPn+2=λ PnPn+1，即由定比分点坐标公式得x_n+2=xn+λxn+11+λ．
（2）a₁=x₂-x₁=1，
因为a_n+1=x_n+2-x_n+1=xn+λxn+11+λ-x_n+1
=-11+λ（x_n+1-x_n）=-11+λa_n，
∴an+1an=-11+λ，即{a_n}是以a₁=1为首项，-11+λ为公比的等比数列．
∴a_n=（-11+λ）^n-1．

解析

PnPn+1

考点

据考高分专家说，试题“已知直线l上有一列点P1（x1，y1），.....”主要考查你对 [线段的定比分点 ]考点的理解。 线段的定比分点

线段的定比分点定义：

设点P是直线P₁P₂上异于P₁、P₂的任意一点，若存在一个实数λ，使P₁P＝λPP₂，λ叫做点P分有向线段

所成的比，P点叫做有向线段

的以定比为λ的定比分点。
当P点在线段 P₁P₂上时，λ＞0；当P点在线段 P₁P₂的延长线上时，λ＜-1；当P点在线段P₂P₁的延长线上时 -1＜λ＜0。
若点P分有向线段

所成的比为λ，则点P分有向线段

所成的比为

。

有向线段的定比分点的坐标公式：

(1)设

，
在使用定比分点的坐标公式时，应明确（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。一般在计算中应根据题设，自行确定起点，分点和终点并根据这些点确定对应的定比λ。
(2)当λ＝1时，就得到P₁P₂的中点公式：

；
(3)三角形ABC的重心公式：设

，则重心

。