题文
平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，-2），点C满足
，其中
，且
（1）求点C的轨迹方程；（2）设点C的轨迹与双曲线
交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，若双曲线的离心率不大于
，求双曲线实轴长的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）点C的轨迹方程为
；（2）双曲线实轴长的取值范围是（0，1]．
解析
(1)设C（x，y），根据，用
表示x,y，再利用
，可得x,y满足的关系式，即点C的轨迹方程.
(2)点C的轨迹方程与双曲线方程联立消去y后得到
,
然后把题目条件以MN为直径的圆过原点，转化为
再坐标化得
，即
，借助韦达定理可得到
和
的关系式，从而再借助
的取范围，确定出a的取值范围，问题得解.
解：设C（x，y），因为
，则
即
由
，得
，即点C的轨迹方程为
……4分
（2）由
，得
依题意知
，设
则
因为以MN为直径的圆过原点，所以
即
，即
得
，得
……………8分
∵
，∴
，∴
又
，∴
，∴
，从而
∴双曲线实轴长的取值范围是（0，1]．……………12分
考点
据考高分专家说，试题“平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点.....”主要考查你对 [平面向量基本定理及坐标表示 ]考点的理解。
